Ogni sottoinsieme del piano o dello spazio (ma la questione si può formulare anche con più di 3 dimensioni) che contenga un segmento di lunghezza unitaria in ogni direzione è chiamato insieme di Kakeya.
Il matematico russo Besicovitch dimostrò nel 1920 che esistono insiemi di Kakeya di area nulla. Il suo risultato purtroppo non venne subito diffuso al di fuori della Russia e solo molti anni dopo, quando Besicovitch emigrò, venne a sapere che in Giappone c'era un altro matematico, Kakeya, che si stava ponendo un problema simile già dal 1917. Il problema di Kakeya era: qual è nel piano l'insieme di area minima in cui un ago può ruotare di 180 gradi? Una formulazione alternativa sarebbe trovare il minimo spazio di manovra necessario per parcheggiare una macchina a forma di ago.
Nel 1921 Pal aveva dimostrato che tra gli insiemi convessi quelli che soddisfano il problema sono i triangoli equilateri. Ma essere convessi è una proprietà abbastanza eccezionale per un insieme! Non si poteva escudere che tra tutte le figure che Pal non aveva considerato ce ne fosse una di area ancora pi ù piccola con la proprietà richiesta da Kakeya. Besicovitch, a partire dalla sua prima dimostrazione, dimostrò che per ogni valore fissato di area (anche piccolissimo, purchè maggiore di zero) si puo' costruire un insieme che risolve il problema di Kakeya.
Per avere un'idea della dimostrazione di Besicovitch potete guardare questa animazione.
Osservazione: con una costruzione simile si pu ò ottenere un insieme di misura nulla nel piano che contiene una circonferenza di raggio r per ogni valore di r maggiore o uguale a 0. Nel 1958 il problema di Kakeya è stato scelto dalla Mathematical Association of America come argomento del loro primo filmato divulgativo. Il film era narrato dalla voce dello stesso Besicovitch.