\documentclass[11pt,a4paper]{article}
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\parindent=0pt
\begin{document}\thispagestyle{empty}
\begin{center} \bfseries
Scuola Internazionale Superiore di Studi Avanzati, Trieste \\[10pt]
Esame di Ammissione alle borse per la Laurea Magistrale 
in Matematica \\[10pt]
Prova scritta del 14 settembre 2006
\end{center}
\noindent
Il candidato risolva  cinque dei seguenti problemi, 
scegliendone almeno uno nel gruppo A (esercizi 1-5) ed uno nel gruppo B 
(esercizi 6-10).  ll candidato {\em indichi
chiaramente} sulla prima pagina dell'elaborato quali sono gli esercizi
svolti, e di cui chiede la valutazione (in ogni caso non pi\`u di cinque).


\section*{Gruppo A}


{\bf 1.} Sia $f \colon [0,+\infty) \to [0,+\infty) $ una funzione continua e decrescente, tale che 
$\displaystyle
\int_0^{+\infty} f(x)\,dx <+\infty  \, ,
$
e sia $g\colon [0,1]\to [0,+\infty] $ la funzione definita da
$\displaystyle\,
g(y):=\sum_{n=0}^{\infty} f(y+n)\,
$
per ogni $y\in [0,1]$.
\begin{itemize}
\item[(a)]Dimostrare che $g(y)<+\infty$ per ogni $y\in[0,1]$.
\item[(b)]Dimostrare che $g$ \`e continua e decrescente su $[0,1]$.
\item[(c)]Dimostrare che esiste $y\in[0,1]$ tale che
$\displaystyle
g(y)= \int_0^{+\infty} f(x)\,dx\,
$.
\end{itemize}

\bigskip


{\bf 2.} Calcolare
$$
\lim_{x\to+\infty}\frac1x\int_1^x\frac{\log(1+s)}{(1+\log s)\sqrt{1+s^2}}\,ds\, .
$$

\bigskip

{\bf 3.} Si consideri il problema di Cauchy
$$
\left\{\begin{array}{l} 
\displaystyle
y'(x)=\frac{1-x^3}x y(x)\,, 
\\[5pt]
y(1)=-1\,.
\end{array}\right.
$$
Dimostrare che la soluzione $y$ \`e convessa in un intorno di $x=1$.

\bigskip


{\bf 4.} Sia $  S:=\{(x,y)\in \mathbb R^2:\frac{x^4}4+\frac{y^2}2=1\}$.
Trovare i punti di massimo e  di minimo  su $ S $ della funzione $$f(x,y):=\sqrt{x^2+y^2}\,.$$



\bigskip

{\bf 5.} Sia $f\colon \mathbb R\to\mathbb R$ una funzione di classe $C^2$
tale che $\displaystyle \lim_{x\to\pm\infty} f(x) =0$. Dimostrare che la funzione
$f''(x)$ si annulla in almeno due punti.
\section*{Gruppo B}

{\bf 6.}  Nello spazio euclideo $\Bbb R^n$ sia $u$ un versore (vettore di modulo unitario) fissato. Sia poi
$A$ la matrice $n\times n$ cos\`i definita:
$$A=I_n-2\ {}^t{\bf u\,u}$$
dove ${\bf u}$ denota la matrice riga formata dalle componenti di $u$, e $I_n$ \`e la matrice
identit\`a $n\times n$.

\begin{itemize}
\item[(a)] Verificare che la matrice $A$ \`e ortogonale;

\item[(b)] dimostrare che $A$ 
 \`e diagonalizzabile e determinarne gli autospazi.
 \end{itemize}


\bigskip


{\bf 7.}  Nello spazio affine reale di dimensione $3$, siano fissati un punto $P$, un piano $\pi$ ed una retta $r$.  Discutere esistenza e unicit\`a di una retta passante per  $P$, che sia parallela a $\pi$ e incidente $r$. 

\bigskip

{\bf 8.}
Dare un esempio di polinomio monico in $\Bbb Z[x]$ che sia irriducibile, ma si fattorizzi modulo 2, 3  e 5.

\bigskip

{\bf 9.} Sia $X$ uno spazio topologico metrico. Dimostrare che la topologia di $X$
ha una base numerabile se

\begin{itemize}
\item[(a)]
 $X$ ha un sottoinsieme denso numerabile
 \end{itemize}

oppure

\begin{itemize}
\item[(b)]
 $X$ \`e compatto.
 \end{itemize}
 
\bigskip

{\bf 10.} Una sfera puntiforme di massa $m$  \`e lanciata all'interno 
di una rotaia circolare di raggio $r$ e priva di attrito disposta in un piano verticale in presenza di un campo gravitazionale uniforme. Quale deve essere la  velocit\`a $v_0$ con cui la sferetta viene lanciata nel punto pi\`u basso della guida affinch\'e non si stacchi dalla rotaia?


\end{document}






























