\documentstyle{article}

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\textwidth  16cm   
\textheight 22.5cm     
\footskip   2.35cm      

\begin{document}

% ESAME DI AMMISSIONE ALLA SISSA, Prova scritta.
% (ottobre 97)
% 
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%\baselineskip=14pt
%\nopagenumbers
%\def\r {{\bf R}}
%\def\C {{\bf C}}
%\def\N {{\bf N}}
%\def\Z {{\bf Z}}
%\def\l{{\ell}}
%\def\e{{\epsilon}}


%\centerline{{\bf {\large {\bf S.I.S.S.A.}}}}
%\par
%\centerline{{\bf {\large {\bf Settore di Analisi Funzionale e Applicazioni}}}}

\vspace{1cm}

\large

\centerline{{\it { 
{\it Borse di studio per laurea specialistica}}}} 
\medskip
\centerline{{\it 15 settembre 2005}}
\bigskip

\noindent
Il candidato risolva al pi\`u cinque dei seguenti problemi, 
scegliendone almeno uno nel gruppo A (esercizi 1-5) ed uno nel gruppo B 
(esercizi 6-10).  

\vspace{1cm}

\noindent
{\bf Gruppo A}

\medskip

\noindent
{\bf 1.} Sia $f :(0,1) \to {\bf R} $ una funzione tale che 
$$
\lim_{x \to 0} f(x) = - \infty  \, .
$$
Dimostrare che $ f $ non \`e convessa.


\bigskip

\noindent
{\bf 2.} Sia $ A \subseteq {\bf R}^n $. Si supponga che ogni funzione 
continua $ f : A \to {\bf R}$ 
risulti limitata.
%$$ \max_{A} f < +\infty \, .
%$$ 
Dimostrare che $A$ \`e 
compatto.  


\bigskip
\noindent
{\bf 3.} Si consideri la curva piana %cardioide 
$ C $ espressa, in coordinate polari, dall'equazione
$$
r= 1+ \cos \theta 
$$
(cardioide). 
Trovare i punti di massimo e  di minimo 
(relativi ed assoluti) vincolati su $ C $ 
della funzione 
$$
f(x,y)=\max\{x,y\} \, .
$$ 
%vincolati su $C$.

\bigskip

\noindent
{\bf 4.} 
Sia $P\in C^1({\bf R}, {\bf R})$ 
una funzione tale che $ P(x)> e^x $, $\forall x \geq 0$.

Sia $y(x)$ la soluzione del problema di Cauchy
$$
\cases{
y' +P(x)y=e^x \cr
y(0)=1 \, .}
$$
Provare che $y(x)< 1$ per ogni $x> 0$.


\bigskip

\noindent
{\bf 5.}  Sia $f: (0,+\infty) \to {\bf R}$ 
una funzione di classe $C^1$ tale che
$$
f'(x)< \frac{f(x)}{x} \, \quad \forall x\in  (0,+\infty ).
$$
\smallskip
\begin{description}
\item{(a)} Dimostrare che la funzione
$ \displaystyle x \mapsto \frac{f(x)}{x}$
\`e decrescente.
\smallskip
\item{(b)} Dimostrare che
$ \displaystyle f'(y) < \frac{f(x)}{x}$
per ogni $x$, $y\in (0,+\infty )$ con $x \leq y$.
\smallskip
\item{(c)} Dimostrare che $f(x+y)<f(x)+f(y)$ per ogni $x$, $y\in (0,+\infty )$

Suggerimento: supponendo $ x\leq y$, si stimi $\displaystyle 
\int_y^{x+y} f'(t)\, dt $ 
usando (a) e (b).
\end{description}
\par



\bigskip
\bigskip

\noindent
{\bf Gruppo B}

\medskip

\noindent
{\bf 6.}  Discutere qualitativamente la struttura delle orbite
di un punto materiale in un campo gravitazionale di energia potenziale
$$
U( x ) = - \frac{1}{|x|} \, \qquad x \in {\bf R}^3 \, .
$$
\bigskip


\noindent
{\bf 7.}  
Sia $V$ lo spazio vettoriale delle matrici reali quadrate $ 2 \times 2 $. 
%a coefficienti reali. 
Si consideri l'applicazione $b: V\times V\rightarrow 
{\bf R}$
data da $ b(A,B) = tr(AB)$. Si dimostri che $b$ \`e 
bilineare simmetrica e se ne calcoli la segnatura.
%(cio\`e la differenza tra il numero di autovalori positivi e
% il numero di autovalori negativi).

\bigskip

\noindent
{\bf 8.}  Sia $G$ un gruppo ed $H$ un suo sottogruppo. Si dice che $H$ 
\`e caratteristico se per ogni automorfismo $f$ di $G$ si ha $f(H)=H$.
Dimostrare che ogni sottogruppo caratteristico \`e normale.
Dimostrare che il centro di ogni gruppo \`e caratteristico.
Dare un esempio di un gruppo avente un sottogruppo normale non 
caratteristico.

\bigskip


\noindent
{\bf 9.} Sia $ {\bf R}^\omega $ 
il prodotto di una famiglia numerabile di copie di ${\bf R}$
(ovvero l'insieme delle successioni a valori reali). 
Dimostrare che $ {\bf R}^\omega $,
con la topologia prodotto, \`e uno spazio connesso (per archi). Dimostrare che 
${\bf R}^\omega$,
con la topologia box (che ha come base prodotti arbitrari di aperti
in ${\bf  R}$), non \`e connesso. 

\medskip 

Suggerimento: si consideri il sottoinsieme delle successioni limitate.


\bigskip

\noindent
{\bf 10.}  Si consideri l'insieme $X$ delle coniche passanti per i punti 
$(-1,-1)$, $(1,1)$, $(-1,1)$ e $(1,-1)$ del piano euclideo. Si trovi una conica 
in $X$ passante per $(2,3)$ e se ne discuta l'unicit\`a. Si dica se $X$ 
contiene parabole e, se s\`i, quali. Si dica se l'insieme $ X $ contiene 
coniche tangenti alla retta di equazione $ x=\sqrt{2} $ e, se s\`i, quali.

\end{document}


























