\documentclass[11pt,a4paper]{amsart}
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\newtheorem{ese}{Esercizio}
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\DeclareMathOperator{\Aut}{Aut}
\DeclareMathOperator{\In}{Inn}
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\begin{document}
\begin{center}{\bf Borse di studio per laurea specialistica\\ prova scritta -- 15 settembre 2004}\end{center}
\smallskip
Il candidato risolva al pi\`u cinque dei seguenti problemi, scegliendone almeno uno nel gruppo A (esercizi 1--5) ed uno nel gruppo B (esercizi 6--10).

\subsection*{Gruppo A}
\begin{ese}
Sia $K$ un campo (corpo commutativo), e sia $f\in K[t]$ un polinomio a coefficienti in $K$.
\begin{enumerate}
\item Supponiamo $\deg f=3$. Si dimostri che $f$ \`e irriducibile in $K[t]$ se e solo se non ha radici in $K$.
\item Si dia un esempio di un campo $K$ e di un polinomio $f$ di grado $4$ riducibile e senza alcuna radice.
\item Sia $K=\ZZ/3\ZZ$, e sia $f:=t^3-t+1$. Si dimostri che $K[t]/(f)$ \`e un dominio d'integrit\`a (facoltativo: un campo) con 27 elementi. 
\end{enumerate}
\end{ese}
\begin{ese}
Si considerino le seguenti matrici a coefficienti reali: $$
A=\left(\begin{array}{cc} 1 & -1\\ 1 & -1\end{array}\right)\qquad 
B=\left(\begin{array}{cc}0  & 1\\ 1 & 0\end{array}\right)$$
Per ciascuna di esse, si dica \begin{enumerate}
\item se \`e simile a una matrice diagonale
\item se \`e simile a una matrice triangolare non diagonale.
\end{enumerate}
\end{ese}
\begin{ese}
Sia $G$ un gruppo. Indichiamo con $\Aut(G)$ il gruppo degli automorfismi, cio\`e degli isomorfismi $\varphi:G\to G$ (con la composizione come prodotto). Sia $\In(G)$ il sottogruppo degli automorfismi interni, cio\`e quelli definiti tramite coniugio per un elemento di $G$. Si dimostri che $\In(G)$ \`e un sottogruppo normale di $\Aut(G)$. Si dimostri che $\In(G)$ \`e isomorfo a $G/Z(G)$, dove $Z(G)$ \`e il centro di $G$, cio\`e il sottogruppo degli elementi che commutano con ogni elemento di $G$.
\end{ese}
\begin{ese}
Sia $X$ un insieme non vuoto. Definiamo su $X$ una topologia, imponendo che un sottoinsieme $A$ sia aperto se e solo se \`e vuoto oppure il suo complemento $X\setminus A$ \`e un insieme finito.\begin{enumerate}
\item Dimostrare che questa \`e effettivamente una topologia su $X$, detta topologia del complemento finito.
\item Dimostrare che con questa topologia, ogni sottoinsieme di $X$ \`e compatto\footnote{cio\`e che da ogni ricoprimento aperto si pu\`o estrarre un sottoricoprimento finito: in alcuni testi si usa l'espressione quasicompatto.}.
\item Dire quando $X$ con la topologia del complemento finito \`e di Hausdorff e quando \`e connesso.
\end{enumerate}\end{ese}
\begin{ese}
Due particelle puntiformi di massa $m_1$ e $m_2$ sono vincolate a muoversi lungo una 
retta ed hanno velocit\`a iniziali $v_1\ne 0$ e $v_2=0$. Nelle ipotesi che avvenga 
l'urto e sia elastico (cio\`e con energia cinetica totale conservata), 
trovare il moto dopo l'urto stesso. Cosa accade per $m_2\rightarrow 
\infty$?
 \end{ese}
\subsection*{Gruppo B}
\begin{ese} Siano $A=\{(x, y)\in\RR^2:  0<x<1,\ 0<y<\sqrt x\}$ e $f\colon A\to\RR$ una funzione continua tale che
$$
{1\over x^2+y^2} \le f(x,y) \le {2\over x^2+y^2}
$$
per ogni $(x,y)\in A$.
Trovare tutti i valori del
parametro $\alpha>0$
tali che
$$
\int\!\!\!\!\int_{A}  f(x,y)^\alpha \,dx\,dy<+\infty\,.
$$
\end{ese}
\begin{ese}Dimostrare che per ogni $\lambda>0$ il problema di Cauchy
$$
\left\{\begin{array}{l}y'=y^2-y^6\\
y(0)=\lambda\end{array}\right.
$$
ha una ed una sola soluzione $y_\lambda$ definita in ${[0,+\infty[}$. Dimostrare inoltre che per ogni $\lambda>0$ si ha
$$
\lim_{x\to+\infty} y_\lambda(x)=1\,.
$$
\end{ese}
\begin{ese}
Sia $X=C^1([-1,1],\RR)$ lo spazio vettoriale delle funzioni \mbox{$\phi:[-1,1]\to\RR$} derivabili con derivata continua, normato con $$
||\phi ||=\int_{-1}^1|\phi(s)|\,ds+\int_{-1}^1|\phi'(s)|\,ds.$$
Si verifichi che la successione di funzioni $(\phi_n)_{n\ge 1}$ definite da $$
\phi_n(s)=\left\{\begin{array}{ll}
		1+s&\mbox{se $-1\le s<0$}\\
		1+s-\frac{ns^2}{2}&\mbox{\rule[-.3cm]{0pt}{.1cm}se $0\le s<\frac{1}{n}$}\\
		1+\frac{1}{n}-\frac{1}{2n}& \mbox{se $\frac{1}{n}\le s\le 1$}\end{array}
		\right.
$$
\`e una successione di Cauchy in $X$, ma non \`e convergente in $X$.
\end{ese}
\begin{ese}
   Sia $A$ una matrice reale simmetrica $n\times n$ e si
        consideri la funzione $f:\RR^n\to \RR$ definita da
        $$
        f(x)= (Ax|x) + g(x),
        $$
        dove $(\cdot|\cdot)$ indica il prodotto scalare euclideo in
        $\R^{n}$ e
        $g:\R^n \to \R$ \`e una funzione continua che
        verifica la seguente condizione:
        $$
        \exists\; c>0,\quad \exists\; p>2\quad \mbox{tali che}
         \quad \lim_{|x|\to \infty} \frac{g(x)}{|x|^p} = c.
         $$
         \begin{enumerate}\item
         Provare che esiste $y\in \R^n$ tale che $f(y)= 
\min_{x\in\R^n}f(x)$.         
\item Sia $g\in C^{2}$ tale che $g(0)=0$, $\frac{\de g}{\de x_i}(0)=0$ e
         $\frac{\de^2g}{\de x_i\de x_j}(0)=0$ per ogni $i,j$. Provare che se il minimo autovalore di $A$ \`e
         negativo,
         allora $y\not= 0$.
         \end{enumerate}
\end{ese}
\begin{ese} Sia $f: \R\to \R$ la funzione   $$
      f(y)=\begin{cases}y & \mbox{se}\quad  y \leq 1,\\
1& 
\mbox{se}\quad y >1,
\end{cases}
$$
Determinare, al variare del parametro $a>0$, la soluzione
      $y_{a}:\R\to \R$ del  problema di Cauchy
      $$
      \begin{cases}&y'=f(y),
      \\
      &y(0)=a.
      \end{cases}
      $$
\end{ese}\end{document}